MATEMÁTICAS

OLIMPIADAS ESCOLARES



La olimpiada fue un éxito, hubo representación de alumnos de todos los cursos. Estos son los datos de participación que ha facilitado la organización del evento:

·         Un sexto de los participantes eran de primaria; de los restantes, tres quintos estudiaban secundaria; 300 eran estudiantes de bachillerato.

·         Solo había 50 atletas de 3º ESO y los demás niveles de Secundaria tenían todos el mismo número de inscritos.

·         El 39,6% de los participantes eran masculinos.

·         Había el doble de chicos de Primaria que de Secundaria y éstos eran, a su vez, el doble que los de Bachillerato.

Se realizaron las mismas pruebas en los tres niveles y no se produjo ningún empate. En total se otorgaron 45 medallas. Cada medalla de oro le costó a la organización 2,345 euros; cada medalla de plata 1,975 euros; y cada medalla de bronce 0,835 euros. Estos precios, según aclaraciones del fabricante, solo se redondearían al final, nunca en los pasos intermedios. 

¿Cuántos participantes hubo?

• Los participantes de Primaría son un sexto del total
• Los participantes de Secundaria son tres quintos de los restantes y
• Los participantes de Bachillerato son 300.

El primer paso es calcular la fracción de los participantes de Secundaria.

$$\frac { 3 }{ 5 } de\frac { 5 }{ 6\\ } =\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 5 }{ 6 } =\frac { 15 }{ 30 } =\frac { 3 }{ 6 }$$

Y luego hallamos la fracción de los participantes de Bachillerato

Si el total es la unidad, restamos un sexto de los participantes de primaria y los tres sextos de los participantes de secundaria y el resultado serán los participantes de Bachillerato.

$$1-\frac { 1 }{ 6 } -\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 6 }{ 6\\ } -\frac { 1 }{ 6 } -\frac { 3 }{ 6 } =\frac { 2 }{ 6 } $$

Mediante la regla de tres vamos a hallar el número de los participantes de cada nivel:

Si los 300 participantes de Bachillerato son dos sextos del total,

¿cuántos participantes serán el sexto de Primaria?

$$\frac { 1 }{ 6 } \rightarrow x\\ \frac { 2 }{ 6 } \rightarrow 300\\x= \frac { 1 }{ 6 } .300:\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 300 }{ 6 } :\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1800 }{ 12 } =150$$

Si los 300 participantes de Bachillerato son dos sextos del total,

¿cuántos participantes serán los tres sextos de Secundaria?

$$\frac { 3 }{ 6 } \rightarrow x\\ \frac { 2 }{ 6 } \rightarrow 300\\ x=\frac { 3 }{ 6 } .300:\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 900 }{ 6 } :\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 5400 }{ 12 } =450$$

Resultados: hay 150 de primaria, 450 de secundaria y 300 de bachillerato. TOTAL

150 + 450 + 300 = 900 participantes

¿Cuántas chicas participaron?
Si el 39,6% de los participantes eran masculinos, el resto serán chicas,

100% - 39,6% =60,4%

El 60,4% eran chicas.
Ahora calculamos el 60,4 % de 900 participantes.
$$\frac { 60,4\quad .\quad 900 }{ 100 } =543,6$$

Redondeamos el resultado y nos da 544 chicas.

¿Cuántos deportistas de 4º ESO hubo en la prueba?

Si de 3º ESO había solo 50 participantes, calculamos los participantes que corresponden a 1º, 2º y 4º ESO, y luego dividimos el resultado entre tres ya que estos tres niveles tenían el mismo número de inscritos.

450 - 50 = 400

400 : 3 = 133,333

Ya que no es posible dividir a una persona, tendremos que redondear la cifra.
Nos daría que 1º y 2º ESO tienen cada nivel 133 participantes, y 4º ESO tiene 134 participantes.

¿Cuántos atletas masculinos de secundaria participaron?

Había el doble de chicos de Primaria que de Secundaria y éstos eran, a su vez, el doble que los de Bachillerato.
llamamos x a los alumnos de Secundaria
llamamos 2x a los alumnos de Primaria al ser el doble
llamamos 1/2x a los alumnos de Bachillerato al ser la mitad de los alumnos de Secundaria. 

$$356\quad =\quad x\quad +\quad 2x\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } x$$ $$\\ 356=3x\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } x\\ \frac { 712 }{ 2 } =\frac { 6 }{ 2 } x\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } x\\ 712=6x\quad +\quad x\\ 712=7x\\ \frac { 712 }{ 7 } =x\\ x=101,71$$

Por lo tanto, los alumnos de Secundaria serían x= 101,71
Si redondeamos serían 102 alumnos.
Los alumnos de Primaria serían 2x = 203,42
si redondeamos serían 203 alumnos.
Y los alumnos de Bachillerato serían 1/2x =50,85
Es decir serían 51 alumnos.

¿Cuántas pruebas diferentes hubo?

Si se practicaron las mismas pruebas en los tres niveles, no se produjo ningún empate y se otorgaron 45 medallas, se realizarían quince pruebas diferentes.

Tenemos que suponer que en cada prueba se otorgan tres medallas (una de oro, una de plata y otra de bronce).

45:3 = 15

¿Cuánto dinero costaron las medallas?

Cada medalla de oro 2,345 euros
Cada medalla de plata 1,975 euros
Y cada medalla de bronce 0,835 euros

15 x 2,345 = 35,175

15 x 1,975 = 29,625

15 x 0,835 = 12,525

Estos precios, según aclaraciones del fabricante, solo se redondearían al final, nunca en los pasos intermedios.

Redondeando las medallas oro costaron 35 euros, las de plata costaron 30 euros y las de bronce 13 euros.